期待値

物理量\(f\)の確率\( p \)での期待値\(\langle f \rangle\)は,

\[ \langle f \rangle = \sum ^{\Omega} _{i = 1} f_i p_i \]

但し, \(i=1,2,3, \cdots , \Omega\) は基本状態を表す。

確率分布

\(N\)個の系を\(j = 1,2,3,\cdots,N\)と表し, 系\(j\)での基本状態を\(i_j=1_j,2_j,3_j,\cdots,\Omega _j\)とする。このとき, 系\(j\)での基本状態\(i_j\)を見出す確率を\(p^{(j)} _{i_j}\)とし, 確率分布\({\bf p}^{(j)}\)を次に定める。

\[ {\bf p}^{(j)}=(p^{(j)} _{i_j})_{i_j=1,2,\cdots,\Omega _j} \]

ずれとゆらぎ

真値の, 期待値からの差をずれ\(\delta\)として定める。

\[ \delta = f - \langle f \rangle \]

このとき,ずれ\(\delta\)の期待値がどれくらいになりたいかを考えたいが, 上の期待値の定義通りに計算すると, 正のずれと負のずれが打ち消し合って0になってしまう。そこで, 二乗の期待値として分散\(\langle \delta ^2 \rangle \)を定める。

\begin{eqnarray} \langle \delta ^2 \rangle &=& \langle (f-\langle f \rangle)^2 \rangle \\ &=&\langle f^2 -2f\langle f \rangle + (\langle f\rangle)^2 \rangle \\ &=&\langle f^2 \rangle - 2\langle f \rangle \langle f \rangle +(\langle f \rangle)^2 \\ &=&\langle f^2 \rangle - (\langle f \rangle)^2 \end{eqnarray}

但し, \(\langle \langle f \rangle \rangle = \langle f \rangle \)を用いた。

この分散の平方根として, 揺らぎ\(\sigma \)を次のように定める。

\[ \sigma = \sqrt{\langle \delta ^2 \rangle} = \sqrt{\langle f^2 \rangle- (\langle f \rangle )^2} \]