密度演算子とノイマンの式

2019/07/16

密度演算子

\(M\)個の粒子の体系における量子状態を\(m\)と表し, 状態\(m\)の粒子数を\(M_m\)とする。この時, 体系内のある粒子が状態\(m\)である確率\(P_m\)は

\[P_m=\frac{M_m}{M}\]

となる。以後, 確率\(P_m\)が時間に拠らないと仮定する。

上に定めた条件において, 密度演算子\(\rho\)は

\[\rho = \sum_m P_m|m\rangle \langle m|\]

というように定義される。この際, 状態ケット\(|m\rangle\)は規格直交系を構成しているとしておく。

ノイマンの式

前項で定義した密度演算子\(\rho\)の時間変化を表す式のことをノイマンの式という。具体的には

\[i\hbar \frac{\partial \rho}{\partial t} = [\mathcal{H}, \rho] \]

である。この式の導出は, 状態ケットについての時間依存のシュレディンガー方程式と先の密度演算子の定義式から行うことができる。シュレディンガー方程式は

\[i\hbar \frac{\partial |m\rangle}{\partial t} = \mathcal{H}|m\rangle, \ \ \ -i\hbar \frac{\partial \langle m|}{\partial t} = \mathcal{H}\langle m|\]

となるから,

\begin{align} i\hbar \frac{\partial \rho}{\partial t} &= i\hbar \sum _m \frac{\partial (P_m|m\rangle \langle m|)}{\partial t} \nonumber \\ &= \sum _m (\mathcal{H}P_m|m\rangle \langle m| - P_m|m\rangle \langle m|\mathcal{H}) \nonumber \\ &= \mathcal{H} \rho - \rho \mathcal{H}\nonumber \\ &= [\mathcal{H}, \rho] \end{align}